Interessant. Wenn man die Näherungsformel aus dem Wiki-Artikel umformt, kommt man auf n~exp(l-γ), wobei
l = Länge des Bandes in Meter
γ = die Euler-Mascheroni-Konstante (ca. 0,5772156649)
Einsetzen der Werte ergibt etwa 12366.9, was man natürlich dann auf ganze n aufrunden muss.
Hätte nicht gedacht, dass diese Näherungsformel so den genauen Wert liefert.
Knifflige, mathematische Aufgabe für Könner
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Arthur Dent
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Da hätte ich mal eine Neue Aufgabe:
Ich spiele GW, also Guild Wars, und dort hat man die Möglichkeit seine Rüstungen zu Färben, für diesen Zweck gibt es Farbstofffläschchen.
11 Stück an der Zahl.
(Der Reihe nach von links oben nach rechts unten:
Blau Weiß Silber Grau Schwarz Braun Lila Rot Orange Gelb und Grün)
Man kann bis zu 4 Farben zu einer neuen Farbe Kombinieren.
Aber man kann auch nur eine nutzen oder auch 2.
Außer Doppelte Farben, die Können nicht Kombiniert werden,
dann kommt diese Fehlermeldung wie auf dem Bild zu sehen.
Auch ist es egal ob ich Rot + Blau + Grün Färbe oder Blau + Rot + Grün.
Die Reihenfolge der Fläschen ist irrelevant.
Jetzt die Frage:
Wie viele Farbkombinationen sind mit diesem System Möglich bei:
-11 Farben
-4 Möglichen Slots für Farben
-Reihenfolge der Farben ist egal
-Doppelte dreifach oder vierfach die gleiche Farbe ist nicht möglich
(wobei anzumerken ist Blau + Blau geht nicht, aber Blau + Blau + Rot jedoch geht schon)
Ich spiele GW, also Guild Wars, und dort hat man die Möglichkeit seine Rüstungen zu Färben, für diesen Zweck gibt es Farbstofffläschchen.
11 Stück an der Zahl.
(Der Reihe nach von links oben nach rechts unten:
Blau Weiß Silber Grau Schwarz Braun Lila Rot Orange Gelb und Grün)
Man kann bis zu 4 Farben zu einer neuen Farbe Kombinieren.
Aber man kann auch nur eine nutzen oder auch 2.
Außer Doppelte Farben, die Können nicht Kombiniert werden,
dann kommt diese Fehlermeldung wie auf dem Bild zu sehen.
Auch ist es egal ob ich Rot + Blau + Grün Färbe oder Blau + Rot + Grün.
Die Reihenfolge der Fläschen ist irrelevant.
Jetzt die Frage:
Wie viele Farbkombinationen sind mit diesem System Möglich bei:
-11 Farben
-4 Möglichen Slots für Farben
-Reihenfolge der Farben ist egal
-Doppelte dreifach oder vierfach die gleiche Farbe ist nicht möglich
(wobei anzumerken ist Blau + Blau geht nicht, aber Blau + Blau + Rot jedoch geht schon)
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dragonling
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16.071 Kombinationen.
11^4 + 11^3 + 11^2 +11^1 - 11 - 11 - 11
11^4: Kobinationen von 11 Farben in 4 Slots
11^3: Kobinationen von 11 Farben in 3 Slots +
11^2: Kobinationen von 11 Farben in 2 Slots +
11^1: Kobinationen von 11 Farben in 1 Slots -
11 Kobinationen, die es bei 4 Slots nicht gibt -
11 Kobinationen, die es bei 3 Slots nicht gibt -
11 Kobinationen, die es bei 2 Slots nicht gibt
Aber wahrscheinlich habe ich mich wieder verrechnet
[Edit] Ja, ich habe mich verrechnet, weil die Reihenfogle der Farben ja irrelevant ist. Sind also weniger als 16.071 Kombinationen.
11^4 + 11^3 + 11^2 +11^1 - 11 - 11 - 11
11^4: Kobinationen von 11 Farben in 4 Slots
11^3: Kobinationen von 11 Farben in 3 Slots +
11^2: Kobinationen von 11 Farben in 2 Slots +
11^1: Kobinationen von 11 Farben in 1 Slots -
11 Kobinationen, die es bei 4 Slots nicht gibt -
11 Kobinationen, die es bei 3 Slots nicht gibt -
11 Kobinationen, die es bei 2 Slots nicht gibt
Aber wahrscheinlich habe ich mich wieder verrechnet
[Edit] Ja, ich habe mich verrechnet, weil die Reihenfogle der Farben ja irrelevant ist. Sind also weniger als 16.071 Kombinationen.
Zuletzt geändert von dragonling am Di 27.11.2007 - 11:33, insgesamt 2-mal geändert.
Huhu Cassie 
Ich habs mit Kombinationsrechnen versucht (n über k).
n=Zahlenelemente (11) k=Klassezahl (4) und das bedeutet:
n*(n-1)*(n-2)...bis (n-k+1) / k! (kFakultät)
Also: 11*10*9*8 / 1*2*3*4
das ergibt 7928:24= 1982
Ob ich das jetzt so richtig gerechnet habe, weis ich nicht mehr so genau, ist schon fast 60 Jahre her.
MfG Grufti
Ich habs mit Kombinationsrechnen versucht (n über k).
n=Zahlenelemente (11) k=Klassezahl (4) und das bedeutet:
n*(n-1)*(n-2)...bis (n-k+1) / k! (kFakultät)
Also: 11*10*9*8 / 1*2*3*4
das ergibt 7928:24= 1982
Ob ich das jetzt so richtig gerechnet habe, weis ich nicht mehr so genau, ist schon fast 60 Jahre her.
MfG Grufti
Lieber eine gesunde Verdorbenheit, als eine verdorbene Gesundheit.
Das sieht schon nach nem guten Anfang aus, aber ich glaube, die Kombinationen mit gleichen Farben sind da noch drin. Boah Grufti, ich find das cool, dass du das noch kannst, ich kann das schon nach 20 Jahren nicht mehr. Hatte allerdings auch keinen Bock, mein Gehirn so weit hochzufahren.
Man muss übrigens mit 12 Kombinationen in den drei letzen Slots rechnen, da "keine Farbe" dort auch eine Auswahlmöglichkeit ist. Ach, dafür fällt ja die Kombimöglichkeit "gleiche Farben" weg. Also damit ist das ein Nullsummenspiel und wenn du die richtige Formel benutzt hast (hab grad nicht die Zeit, danach zu suchen), dann rechne ich mal nach...
11*10*9*8 sind 11*720=7920 (kleiner Tippfehler?)
1*2*3*4 sind 24, ohne Frage
Aber 7920/24 sind bei mir 330. (wahrscheinlich ein Tippfehler beim Rechnen, da 7928/4=1928).
Nen Taschenrechner bedienen kann aber jeder, die Formel zu wissen ist die Kunst.
Edith sagt, dass man das schnell bei Wikipedia unter dem Stichwort Fakultät(Mathematik) findet.
Das ist nämlich einfach nur Lottospielen.
Man muss übrigens mit 12 Kombinationen in den drei letzen Slots rechnen, da "keine Farbe" dort auch eine Auswahlmöglichkeit ist. Ach, dafür fällt ja die Kombimöglichkeit "gleiche Farben" weg. Also damit ist das ein Nullsummenspiel und wenn du die richtige Formel benutzt hast (hab grad nicht die Zeit, danach zu suchen), dann rechne ich mal nach...
11*10*9*8 sind 11*720=7920 (kleiner Tippfehler?)
1*2*3*4 sind 24, ohne Frage
Aber 7920/24 sind bei mir 330. (wahrscheinlich ein Tippfehler beim Rechnen, da 7928/4=1928).
Nen Taschenrechner bedienen kann aber jeder, die Formel zu wissen ist die Kunst.
Edith sagt, dass man das schnell bei Wikipedia unter dem Stichwort Fakultät(Mathematik) findet.
Das ist nämlich einfach nur Lottospielen.Breuna-Counter
"Niemand hat die Absicht, Weltmeister zu werden."
"Niemand hat die Absicht, Weltmeister zu werden."
Nachdem ich das vorherige Rätsel erst nach dessen Lösung gesehen habe, möchte ich mich jetzt mal am Farbenrätsel probieren.
Zu Gruftis Lösung: (n über k), oder auch (k aus n) ist die Anzahl der Möglichkeiten, k Objekte aus n auszuwählen. (4 aus 11) ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 4 verschiedene Farben aus den 11 auszuwählen.
Wenn wir nur eine Farbe verwenden, haben wir 11 Möglichkeiten.
Wenn wir zwei Farben verwenden, haben wir nach obigem Kommentar (2 aus 11) = 55 Möglichkeiten.
Bei 3 Farben: (3 aus 11) = 165 sind die Kombinationen aus 3 verschiedenen Farben. Dazu kommen die Kombinationen, die eine Farbe zweimal enthalten, also aus 2 verschiedenen Farben bestehen. Für die Auswahl dieser 2 Farben gibt es wieder (2 aus 11) Möglichkeiten. Eine von den beiden muss doppelt vorkommen, dafür gibt es 2 zur Auswahl (rot-rot-blau oder rot-blau-blau), wir multipliezieren also mit 2.
Insgesamt also (3 aus 11) + 2*(2 aus 11) = 275 für 3 Farben
Bei 4 Farben:
a) 4 verschiedene: (4 aus 11)
b) 3 verschiedene: (3 aus 11), eine davon doppelt => *3
c) 2 verschiedene: (2 aus 11). Entweder beide doppelt, oder eine dreifach => *3 (rot-rot-blau-blau, rot-blau-blau-blau, rot-rot-rot-blau)
Insgesamt (4 aus 11) + 3*(3 aus 11) + 3*(2 aus 11) = 990
Damit erhalten wir als Endergebnis: 11 + 55 + 275 + 990 = 1331 Kombinationsmöglichkeiten
Zu Gruftis Lösung: (n über k), oder auch (k aus n) ist die Anzahl der Möglichkeiten, k Objekte aus n auszuwählen. (4 aus 11) ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 4 verschiedene Farben aus den 11 auszuwählen.
Wenn wir nur eine Farbe verwenden, haben wir 11 Möglichkeiten.
Wenn wir zwei Farben verwenden, haben wir nach obigem Kommentar (2 aus 11) = 55 Möglichkeiten.
Bei 3 Farben: (3 aus 11) = 165 sind die Kombinationen aus 3 verschiedenen Farben. Dazu kommen die Kombinationen, die eine Farbe zweimal enthalten, also aus 2 verschiedenen Farben bestehen. Für die Auswahl dieser 2 Farben gibt es wieder (2 aus 11) Möglichkeiten. Eine von den beiden muss doppelt vorkommen, dafür gibt es 2 zur Auswahl (rot-rot-blau oder rot-blau-blau), wir multipliezieren also mit 2.
Insgesamt also (3 aus 11) + 2*(2 aus 11) = 275 für 3 Farben
Bei 4 Farben:
a) 4 verschiedene: (4 aus 11)
b) 3 verschiedene: (3 aus 11), eine davon doppelt => *3
c) 2 verschiedene: (2 aus 11). Entweder beide doppelt, oder eine dreifach => *3 (rot-rot-blau-blau, rot-blau-blau-blau, rot-rot-rot-blau)
Insgesamt (4 aus 11) + 3*(3 aus 11) + 3*(2 aus 11) = 990
Damit erhalten wir als Endergebnis: 11 + 55 + 275 + 990 = 1331 Kombinationsmöglichkeiten
Also erst mal würde mich brennend interessieren, welche Lösung der vorherigen Aufgabe richtig ist.
Da die eine Lösung ja "nur" viermal so groß ist wie die andere, sind beide in ähnlicher Größenordnung und mit abschätzen wird das schwierig. Ich tendiere dazu, die leere Flasche ebenso als eine Farbe zu sehen, daher kann sie komplett in die Formel mit hineingenommen werden. Ob Gruftis Fakultäts-Formel die richtige ist, kann ich aber nicht beurteilen, weil mich Aristad doch etwas verunsichert hat.
Aber jetzt zu meinem eigentlichen Anliegen:
Wie ich aus meiner Schulmathematik in der Oberstufe noch weiß, kann man rekursive Folgen in explizite Formeln umwandeln. Ich habe hier eine rekursive Folge, die sich partout weigert, meinen bescheidenen Versuchen nachzugeben, sich in eine explizite Folge umzuwandeln. Jetzt weiß ich nicht: gehört sie zu den ganz wenigen Fällen, wo das nicht funktioniert oder fehlt mir einfach der zündende Gedankenblitz?
Hier das Problem:
Es gibt verschiedene Pflanzensorten, die unterschiedlich lange brauchen. Z.B.
Mirabellen 144 Stunden
Brombeeren 48 Stunden
Birnen 120 Stunden
Pflaumen 240 Stunden
Nun kann man diese Pflanzen gießen, wodurch sich die Wachstumszeit um 5% verkürzt. (Wahlweise kann man auch mit 10% rechnen, wenn das leichter geht, die einzelnen Zahlen sind ja eher Nebensache.) Einmal gießen hält 24 Stunden an, dann kann man neu gießen und die Wachstumszeit verkürzt sich noch einmal um 5% (bzw. 10%).
Die rekursive Folge sieht dann folgendermaßen aus:
Mirabelle 136,80 107,16 79,00 52,25 26,84 2,70
Gesamtzeit 122,70, d.h. 21,3 Stunden (21 h 18 m) schnellere Wachstumszeit
Brombeere 45,60 20,52
Gesamtzeit 44,52, d.h 3,48 Stunden (3 h 29 m) schnellere Wachstumszeit
Birne 114,00 85,50 58,43 32,71 8,27
Gesamtzeit 104,27, d.h. 9,73 Stunden (9 h 44 m) schnellere Wachstumszeit
Pflaume 228,00 193,80 161,31 130,44 101,12 73,26 46,80 21,66
Gesamtzeit 189,66, d.h. 38,34 Stunden schnellere Wachstumszeit
usw. usf.
Wie kann man diese Folge nun explizit lösen? Mit nem einfachen Potenzieren hat es nicht geklappt (also 0,95 *0,95 etc.). Gibt es noch genialere Formeln oder bleibe ich auf dieser unhandlichen Rekursion sitzen?
Danke für jegliche Vorschläge.
Da die eine Lösung ja "nur" viermal so groß ist wie die andere, sind beide in ähnlicher Größenordnung und mit abschätzen wird das schwierig. Ich tendiere dazu, die leere Flasche ebenso als eine Farbe zu sehen, daher kann sie komplett in die Formel mit hineingenommen werden. Ob Gruftis Fakultäts-Formel die richtige ist, kann ich aber nicht beurteilen, weil mich Aristad doch etwas verunsichert hat.
Aber jetzt zu meinem eigentlichen Anliegen:
Wie ich aus meiner Schulmathematik in der Oberstufe noch weiß, kann man rekursive Folgen in explizite Formeln umwandeln. Ich habe hier eine rekursive Folge, die sich partout weigert, meinen bescheidenen Versuchen nachzugeben, sich in eine explizite Folge umzuwandeln. Jetzt weiß ich nicht: gehört sie zu den ganz wenigen Fällen, wo das nicht funktioniert oder fehlt mir einfach der zündende Gedankenblitz?
Hier das Problem:
Es gibt verschiedene Pflanzensorten, die unterschiedlich lange brauchen. Z.B.
Mirabellen 144 Stunden
Brombeeren 48 Stunden
Birnen 120 Stunden
Pflaumen 240 Stunden
Nun kann man diese Pflanzen gießen, wodurch sich die Wachstumszeit um 5% verkürzt. (Wahlweise kann man auch mit 10% rechnen, wenn das leichter geht, die einzelnen Zahlen sind ja eher Nebensache.) Einmal gießen hält 24 Stunden an, dann kann man neu gießen und die Wachstumszeit verkürzt sich noch einmal um 5% (bzw. 10%).
Die rekursive Folge sieht dann folgendermaßen aus:
Mirabelle 136,80 107,16 79,00 52,25 26,84 2,70
Gesamtzeit 122,70, d.h. 21,3 Stunden (21 h 18 m) schnellere Wachstumszeit
Brombeere 45,60 20,52
Gesamtzeit 44,52, d.h 3,48 Stunden (3 h 29 m) schnellere Wachstumszeit
Birne 114,00 85,50 58,43 32,71 8,27
Gesamtzeit 104,27, d.h. 9,73 Stunden (9 h 44 m) schnellere Wachstumszeit
Pflaume 228,00 193,80 161,31 130,44 101,12 73,26 46,80 21,66
Gesamtzeit 189,66, d.h. 38,34 Stunden schnellere Wachstumszeit
usw. usf.
Wie kann man diese Folge nun explizit lösen? Mit nem einfachen Potenzieren hat es nicht geklappt (also 0,95 *0,95 etc.). Gibt es noch genialere Formeln oder bleibe ich auf dieser unhandlichen Rekursion sitzen?
Danke für jegliche Vorschläge.
Breuna-Counter
"Niemand hat die Absicht, Weltmeister zu werden."
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Garofuzalomi
- Dieb(in)
- Beiträge: 61
- Registriert: Di 25.03.2008 - 01:06
Ich hab' zwar nicht die ganze Lösung, aber einen Ansatz. Damit sieht es aber bei Weitem nicht leichter aus.
Also:
W... Anfangswert
E... Endergebnis/Gesamtzeit
Bei der Rekursion:
Beim ersten Gießen: W*0,95
Beim zweiten Gießen: (W*0,95 - 24)*0.95
Beim dritten Gießen: [(W*0,95 -24)*0.95 -24]*0.95
Beim x-ten Gießen: W*0.95^x - 24*(0,95^(x-1) + 0,95^(x-2) +... + 0,95^1)
So, das letzte Gießen zeichnet sich dadurch aus, dass dort das Rekursionsfolgenglied <= 24 und > 0 ist.
Damit kann man eine Ungleichung aufstellen:
0 < W*0.95^x - 24*(0,95^(x-1) + 0,95^(x-2) +... + 0,95^1) <= 24
Jetzt könnte man versuchen, geschickt zu logarithmieren. x kann man noch eingrenzen:
x € N; x < W:24 +1
Wenn man dadurch x erhalten könnte, würde man für das Endergebnis die folgende Gleichung aufstellen können:
E = W*0.95^x - 24*(0,95^(x-1) + 0,95^(x-2) +... + 0,95^1) + 24*(x-1)
Ich weiß nicht, ob das irgendwie weiter führt oder letztendlich doch wieder zur Rekursion führt. Das große Problem ist die Reihe innerhalb der Ungleichung.
Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo vertan, bei mir hat es bei der Probe mit der Rekursionsfolge geklappt.
Also:
W... Anfangswert
E... Endergebnis/Gesamtzeit
Bei der Rekursion:
Beim ersten Gießen: W*0,95
Beim zweiten Gießen: (W*0,95 - 24)*0.95
Beim dritten Gießen: [(W*0,95 -24)*0.95 -24]*0.95
Beim x-ten Gießen: W*0.95^x - 24*(0,95^(x-1) + 0,95^(x-2) +... + 0,95^1)
So, das letzte Gießen zeichnet sich dadurch aus, dass dort das Rekursionsfolgenglied <= 24 und > 0 ist.
Damit kann man eine Ungleichung aufstellen:
0 < W*0.95^x - 24*(0,95^(x-1) + 0,95^(x-2) +... + 0,95^1) <= 24
Jetzt könnte man versuchen, geschickt zu logarithmieren. x kann man noch eingrenzen:
x € N; x < W:24 +1
Wenn man dadurch x erhalten könnte, würde man für das Endergebnis die folgende Gleichung aufstellen können:
E = W*0.95^x - 24*(0,95^(x-1) + 0,95^(x-2) +... + 0,95^1) + 24*(x-1)
Ich weiß nicht, ob das irgendwie weiter führt oder letztendlich doch wieder zur Rekursion führt. Das große Problem ist die Reihe innerhalb der Ungleichung.
Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo vertan, bei mir hat es bei der Probe mit der Rekursionsfolge geklappt.
