Knifflige, mathematische Aufgabe für Könner

[Castore]

Heyho !

Vielleicht kann mir hierbei jemand helfen:

Am Anfang eines 10 Meter langen Gummibandes sitzt eine Schnecke. Jeden Tag kriecht Sie einen Meter voran. Nachts, wenn sie ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmäßig so aus, dass es jedes Mal um 10 Meter länger wird. Dämon wie Schnecke seien unsterblich, das Band unbegrenzt dehnbar. Erreicht die Schnecke jemals das Ende des Bandes?

[Baerbel]

Also ich bin weder Mathematiker noch wüsste ich, wie ich sowas berechnen sollte Aber da es ein Gummiband ist bleibt es nicht ausgedehnt sondern zieht sich wieder zusammen. Demzufolge würd ich sagen, dass die Schnecke nach 10 Tagen am Ende angekommen ist.

[Gobo]

Seh ich auch so

Aber mal angenommen, es ist nicht so, wird die zurückzulegende Strecke jeden Tag um 9m länger (10 Meter Dehnung - 1 Meter zurückgelegte Strecke), von daher- nein.

[dragonling]

Unter der Voraussetzung, das das Gummiband sich nicht wieder zusammenzieht, wird die Schnecke das Ende nicht erreichen.

1.Tag
Start
Schnecke: 0m
Band: 10m
Ende
Schnecke: 1m
Band: 10m
Nacht
Band dehnt sich um 100% (10m+10m), Schnecke hat 10%=1m des Bandes geschaft, wird also durch die Dehnung um 100%Dehnung/10%Strecke=10% 1m*10%=0,1m weiter gezogen.

2.Tag
Start
Schnecke: 1,1m
Band: 20m
Ende
Schnecke: 2,1m
Band: 20m
Nacht
Band dehnt sich um 50% (20m+10m), Schnecke hat 9,524%=2,1m des Bandes geschaft, wird also durch die Dehnung um 50%/9,524%=5,25% 2,1m*5,25%=0,11025m weiter gezogen.

3.Tag
Start
Schnecke: 2,21025m
Band: 30m
Ende
Schnecke: 3,21025m
Band: 30m
Nacht
Band dehnt sich um 33% (30m+10m), Schnecke hat 9,345%=3,2...m des Bandes geschaft, wird also durch die Dehnung um 33%/9,345%=3,531% 3,21025m*3,531%=0,11336m weiter gezogen.

4.Tag
Start
Schnecke: 3,32361m
Band: 40m
Ende
Schnecke: 4,32361m
Band: 40m
Nacht
Band dehnt sich um 25% (40m+10m), Schnecke hat 9,2515%=4,3...m des Bandes geschaft, wird also durch die Dehnung um 25%/9,2515%=2,7022% 4,21025m*2,7022%=0,11377m weiter gezogen.

Dadurch, das die Menge der Dehnung prozentual abnimmt, nimmt auch der Anteil, den die Schnecke geschafft hat, prozentual langsam ab. Somit wird die Schnecke das Ende nie erreichen.

[NamelessOne]

Unter der Voraussetzung, das Gummiband dehnt sich gleichmäßig:

Am ersten Tag schafft die Schnecke 1/10 des Weges.
In der Nacht wird das Band um 10 Meter länger, die Position der Schnecke verschiebt sich linear auch um 1 Meter, relativ zur Gesamtlänge des Bandes hat sich die Position dadurch nicht verändert (2/20 = 1/10).
Am nächsten Tag schafft die Schnecke wieder 1 Meter, jetzt aber bezogen auf 20 Meter, also 1/20 des Weges.

Somit ergibt die Position der Schnecke bezogen auf die Gesamtlänge
1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40 + ...

Nach Grenzwertbetrachtung erreicht die Summe niemals den Wert 1
(100% der Gesamtlänge), kommt aber nach unendlich vielen Tagen unendlich nahe an den Wert 0,2 (20% der Länge).

[Castore]

Aber dehnt sich das Band an nur dem Ende, auf das die Schnecke zukriecht ? Wenn ich ein Gummiband ziehe, dann dehnt es sich doch an beiden Enden... Also wird der Weg, den die Schnecke bereits zurückgelegt hat auch größer...

Ich weiss die Lösung nicht, aber ich weiss nur, dass die Schnecke das Ende erreicht...die große Frage ist nur: Wie ?

[Arthur Dent]

Unter der Voraussetzung, das das Gummiband sich nicht wieder zusammenzieht, wird die Schnecke das Ende nicht erreichen.

1.Tag
Start
Schnecke: 0m
Band: 10m
Ende
Schnecke: 1m
Band: 10m
Nacht
Band dehnt sich um 100% (10m+10m), Schnecke hat 10%=1m des Bandes geschaft, wird also durch die Dehnung um 100%Dehnung/10%Strecke=10% 1m*10%=0,1m weiter gezogen.

Falls diese Argumentation stimmt, hast du aber trotzdem falsch gerechnet. Die Schnecke hat am Ende des Tages 10% zurückgelegt, und dabei wird es auch bleiben. Die 10 Meter neues Band verteilen sich zu 90% auf die Strecke vor ihr und zu 10% auf die Strecke hinter ihr. Somit hat sie am Anfang des 2. Tages noch 18 Meter vor sich und 2 Meter Band hinter sich.

Ende des 2. Tages: 17m vorne / 3m hinten, also 15% geschafft.
nach der Nacht (85% von 30m): 25.5m vorne / 4.5m hinten.

Ende des 3. Tages: 24.5m / 5.5m, 18,33333% geschafft.
nach der Nacht (81,1666% von 40m) : 32,66666m / 7,33333m

etc...

Wir haben es hier offenbar mit einer Reihe zu tun und müssen deren Konvergenzverhalten bestimmen. Bin mir da selber noch nicht sicher, mal schauen, ob ich das rauskriege...

[dragonling]

Stimmt, habe mich verrechnet Wird zeit, das ich was esse, damit ich wiede denken kann

[Arthur Dent]

Also:

Nach dem 1. Tag waren 10%, nach dem 2. Tag 15% und nach dem 3. Tag 18,333333333% der Strecke erledigt.

Die Schnecke macht also am ersten Tag 10 Prozentpunkte (=1/10), am 2. Tag 5 (1/20) und am dritten Tag 3,3333333 (=1/30) Fortschritt. Es drängt sich die Vermutung auf (die man aber noch formal beweisen müsste), dass der Fortschritt an Tag n, gemessen in Anteilen an der Gesamtstrecke), genau

d(n) = (1/10) * (1/n) beträgt.

Wenn das stimmt, wäre der gesamte Fortschritt am Ende von Tag n genau

p(n) = d(1)+d(2)+...+d(n)

was man umformen kann zu

p(n) = (1/10) * S(n),

wobei S(n) = (Summe aller (1/i) für i=1 bis n)

(edit: 1 bis n, nicht 0 bis n)


Nun beschreibt S(n) die Summe aller Kehrbrüche bis zu einem bestimmten Wert. Die Reihe dieser Summen ist wohlbekannt und heißt Harmonische Reihe.

Die Schnecke hat das Ziel erreicht, sobald p(n)>=1, oder, äquivalent, S(n)>=10. Da S(n) divergent ist und eben nicht, wie man intuitiv vermuten vielleicht vermuten würde, gegen einen endlichen Wert konvergiert (siehe Wiki-Artikel), ist sichergestellt, dass diese Bedingung für ein endliches n erfüllt ist.

Folglich erreicht die Schnecke in endlicher Zeit das Ziel - vorausgesetzt, die Vermutung bzgl d(n) ist korrekt, was ich aber schon stark vermute.

[Arthur Dent]

Aus der Näherungsformel, die in dem Wiki-Artikel angegeben ist, kommt man übrigens zu dem Ergebnis, dass die Schnecke für ihren Weg grob geschätzt 34 Jahre braucht...

EDIT: hab das Ergebnis auch mal kurz mit einem kleinen java-Programm überprüft. Hier mein Code für Interessierte:

Code: Alles auswählen

// Um die Harmonische Reihe für eine andere Anzahl von Tagen zu // berechnen, einfach die Konstante MX in der main- Routine 
// entsprechend anpassen.

public class Test {
	public static void main(String args[]){

		final int MX=12400; // gewünschte Anzahl der Tage

		System.out.println("h("+MX+")="+harmony(MX));
	}
	
	
	public static double harmony(int n) {
		double z=0;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			z+=(1/(double)i);
		}
		return z;		
	}
}

[NamelessOne]

Unter der
Wir haben es hier offenbar mit einer Reihe zu tun und müssen deren Konvergenzverhalten bestimmen. Bin mir da selber noch nicht sicher, mal schauen, ob ich das rauskriege...

... schau mal zwei Beiträge über deinem ersten

[Arthur Dent]

Unter der
Wir haben es hier offenbar mit einer Reihe zu tun und müssen deren Konvergenzverhalten bestimmen. Bin mir da selber noch nicht sicher, mal schauen, ob ich das rauskriege...

... schau mal zwei Beiträge über deinem ersten

War ein Cross-Post.

Deine Schlussfolgerung ist aber falsch, da die Harmonische Reihe eben nicht gegen einen endlichen Wert konvergiert. (Übrigens ist schon die Summe 1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40 größer als 0,2, wie man leicht ausrechnen kann). Du verwechselst die harmonische (1, 1/2, 1/3, 1/4) mit der geometrischen (1, 1/2, 1/4, 1/8 ) Reihe.

[Castore]

Das hört sich doch mal sehr gut an @Arthur ! Thx !!!

[Saeru]

Genau diese Aufgabe hatte ich mal vor einigen Jahren. Ich glaube aber, dass die Zahlen (Bandlänge, Ausdehnung und Wanderung der Schnecke) evt. damals anders waren. Auf jeden Fall habe ich noch im Kopf, dass die Schnecke definitiv ankommt, da die Ausdehnung des Bandes irgendwann sich in einen Vorteil verwandelt. Und dass damals die tatsächliche (endliche) Dauer d der gesamten Wanderung durch eine doppelte Abschätzung berechnet wurde, wodurch dann rauskam:

e^a < Dauer d < e^(a+1).

Also der Beweis war dann rein mathematisch. Die Schnecke braucht mehr als e^a Tage, und weniger als e^(a+1) Tage, wobei a damals aber nicht gerade klein war (ich glaube sogar, das war 99).

Vielleicht hilft diese Erinnerung etwas. Für die konkrete Aufgabe selber habe ich im Moment leider keine Zeit.

[Arthur Dent]

e^a < Dauer d < e^(a+1).

Das kann nicht stimmen, da in der Näherungsformel der harmonischen Reihe s(n) schon um ca. 0,5 größer ist als ln n.

Ich vermute mal, die korrekte Abschätzung (für a>1) lautet

e^(a-1) < Dauer d < e^a.

</Kümmelspalt>

[Saeru]

Arthur: Das kann gut sein, denn die Aufgabe ist mir (wie oben geschrieben) ja schon vor einigen Jahren begegnet. Übrigens: Hast du dich nicht auch schon einmal damit befasst? Eine simple Suche mit Google nach "punktförmige schnecke" führt zu diesem Thread:

http://www.matheboard.de/archive/10719/thread.html

[Arthur Dent]

Arthur: Das kann gut sein, denn die Aufgabe ist mir (wie oben geschrieben) ja schon vor einigen Jahren begegnet. Übrigens: Hast du dich nicht auch schon einmal damit befasst? Eine simple Suche mit Google nach "punktförmige schnecke" führt zu diesem Thread:

http://www.matheboard.de/archive/10719/thread.html

Nein. Das ist Zufall, dass der Typ in dem Forum sich auch "Arthur Dent" nennt. Ich schätze mal, sehr viele Fans des "Anhalters durch die Galaxis" werden sich in Internetforen Arthur Dent, Ford Prefect oder auch Zaphod Beeblebrox nennen...

Ich selbst habe diese oder eine ähnliche Aufgabe noch nie gesehen. Ich habe jedoch bei meinem Studium im Vordiplom die harmonische Reihe kennengelernt und gelernt, dass diese divergiert - daran habe ich mich jetzt einfach wieder erinnert.

Übrigens schlägt dieser "Arthur Dent" eine Lösung über DIfferentialgleichungen vor. Das würde mir nie in den Sinn kommen - mit Differentialgleichungen kann man mich, offen gestanden, jagen.

[Goldgolem]

Das mathematische Rätsel ist denke ich mal ein Scherz, da 1. es keine Dämonen gibt (außer sie existieren in unseren Köpfen ) und 2. da ein Gummi sich nach Dehnung in die Ursprungsform zurückbewegt. Da in der Aufgabenstellung nicht gegeben ist, dass der Dämon das Band festhält (es ist nur die Rede davon, dass der Dämon in der Nacht kommt, was heißt er geht wieder und das Band kehrt in Ursprungsform zurück). Hoffe jetzt haben alle die versucht haben es auszurechnen was zu denken

[Cassie]

Das mathematische Rätsel ist denke ich mal ein Scherz.
<snip>
Hoffe jetzt haben alle die versucht haben es auszurechnen was zu denken

Sag mal, hast du in der Schule noch nie Textaufgaben gerechnet??? *kopfschüttel* In Textaufgaben sollst du mit der vorgegebenen Wirklichkeit rechnen und nicht mit der Realität, die du sonstwoher kennst. Die kann schließlich bei jedem anders aussehen.

[Goldgolem]

zur Info: gehe in die 9. Klasse und Textaufgaben hatten wir nimmer seit Grundschule oder 5./6.Klasse Die Warscheinlochkeit, dass es sich um ne Jokeaufgabe handelt rechne ich mir erstaunlich hoch aus, Cassie